Dividera $$$u^{3}$$$ med $$$u - 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Crimson}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Crimson}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{DarkBlue}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkBlue}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Steg 3

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{Blue}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{Blue}u}&+0&\frac{{\color{Blue}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Blue}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Blue}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Crimson}u^{2}}&{\color{DarkBlue}+u}&{\color{Blue}+1}&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Crimson}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Crimson}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Crimson}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkBlue}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{Blue}u}&+0&\frac{{\color{Blue}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Blue}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Blue}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Således, $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.