Dividera $$$u^{6}$$$ med $$$u^{2} + 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{u^{6}}{u^{2}} = u^{4}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$u^{4} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(u^{6}\right) - \left(u^{6}+u^{4}\right) = - u^{4}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Crimson}u^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Crimson}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{Crimson}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{- u^{4}}{u^{2}} = - u^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- u^{2} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(- u^{4}\right) - \left(- u^{4}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&{\color{OrangeRed}- u^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{OrangeRed}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Steg 3

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{u^{2}}{u^{2}} = 1$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$1 \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}+1\right) = -1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&- u^{2}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Crimson}u^{4}}&{\color{OrangeRed}- u^{2}}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Crimson}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{Crimson}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{OrangeRed}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Således, $$$\frac{u^{6}}{u^{2} + 1} = \left(u^{4} - u^{2} + 1\right) + \frac{-1}{u^{2} + 1}$$$.