Dividera $$$u^{5}$$$ med $$$u^{2} + 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Peru}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Peru}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Peru}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Peru}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{DarkCyan}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkCyan}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Peru}u^{3}}&{\color{DarkCyan}- u}&&&&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Peru}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Peru}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Peru}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkCyan}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Således, $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.