Dividera $$$u^{4}$$$ med $$$u^{2} + 1$$$

Skriv problemet i specialformatet (saknade termer skrivs med koefficienten noll):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Steg 1

Dividera den ledande termen i täljaren med den ledande termen i delaren: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Subtrahera dividenden från det erhållna resultatet: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{GoldenRod}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{GoldenRod}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{GoldenRod}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{GoldenRod}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{GoldenRod}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Steg 2

Dela den erhållna restens ledande term med delarens ledande term: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Skriv in det beräknade resultatet i den övre delen av tabellen.

Multiplicera det med delaren: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Subtrahera resten från det erhållna resultatet: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{DeepPink}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{DeepPink}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Eftersom graden av resten är mindre än graden av delaren, är vi klara.

Den resulterande tabellen visas återigen:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{GoldenRod}u^{2}}&{\color{DeepPink}-1}&&&&\text{Ledtrådar}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{GoldenRod}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{GoldenRod}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{GoldenRod}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{GoldenRod}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{DeepPink}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Således, $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.