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Calculadora de Regressão Quadrática

Encontre parábolas de melhor ajuste passo a passo

A calculadora encontrará o polinômio quadrático de melhor ajuste para o conjunto dado de dados pareados usando o método dos mínimos quadrados, com as etapas mostradas.

Calculadoras relacionadas: Calculadora de Regressão Linear, Calculadora de Regressão Cúbica

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Encontre a parábola de melhor ajuste para $$$\left\{\left(1, 0\right), \left(4, 5\right), \left(6, 2\right), \left(7, 1\right), \left(3, -3\right)\right\}$$$.

Solução

O número de observações é $$$n = 5$$$.

Gere a seguinte tabela:

$$$x$$$$$$y$$$$$$x y$$$$$$x^{2}$$$$$$x^{2} y$$$$$$x^{3}$$$$$$x^{4}$$$$$$y^{2}$$$
$$$1$$$$$$0$$$$$$0$$$$$$1$$$$$$0$$$$$$1$$$$$$1$$$$$$0$$$
$$$4$$$$$$5$$$$$$20$$$$$$16$$$$$$80$$$$$$64$$$$$$256$$$$$$25$$$
$$$6$$$$$$2$$$$$$12$$$$$$36$$$$$$72$$$$$$216$$$$$$1296$$$$$$4$$$
$$$7$$$$$$1$$$$$$7$$$$$$49$$$$$$49$$$$$$343$$$$$$2401$$$$$$1$$$
$$$3$$$$$$-3$$$$$$-9$$$$$$9$$$$$$-27$$$$$$27$$$$$$81$$$$$$9$$$
$$$\sum$$$$$$21$$$$$$5$$$$$$30$$$$$$111$$$$$$174$$$$$$651$$$$$$4035$$$$$$39$$$

$$$a = \frac{(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = - \frac{3}{22}$$$

$$$b = \frac{(n(\sum xy)-(\sum x)(\sum y))(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)-(n(\sum x^2y)-(\sum x^2)(\sum y))(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x)))}{(n(\sum x^4)-(\sum x^2)^2)(n(\sum x^2)-(\sum x)^2)-(n(\sum x^3)-(\sum x^2)(\sum x))^2} = \frac{\left(5 \cdot 30 - \left(21\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right) - \left(5 \cdot 174 - \left(111\right)\cdot \left(5\right)\right)\cdot \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)}{\left(5 \cdot 4035 - 111^{2}\right)\cdot \left(5 \cdot 111 - 21^{2}\right) - \left(5 \cdot 651 - \left(111\right)\cdot \left(21\right)\right)^{2}} = \frac{3}{2}$$$

$$$c = \frac{(\sum y)-b(\sum x)-a(\sum x^2)}{n} = \frac{5 - \left(\frac{3}{2}\right)\cdot \left(21\right) - \left(- \frac{3}{22}\right)\cdot \left(111\right)}{5} = - \frac{25}{11}$$$

A parábola de melhor ajuste é $$$y = a x^{2} + b x + c$$$.

Assim, a parábola de melhor ajuste é $$$y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}$$$.

Resposta

A parábola de melhor ajuste é $$$y = - \frac{3 x^{2}}{22} + \frac{3 x}{2} - \frac{25}{11}\approx - 0.136363636363636 x^{2} + 1.5 x - 2.272727272727273.$$$A