Maximizar $$$7 x + 2 y$$$, sujeito a $$$\begin{cases} 3 x + 5 y \geq 20 \\ 3 x + y \leq 16 \\ - 2 x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$$

Maximize $$$Z = 7 x + 2 y$$$, sujeito a $$$\begin{cases} 3 x + 5 y \geq 20 \\ 3 x + y \leq 16 \\ - 2 x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}.$$$

O problema na forma canônica pode ser escrito da seguinte forma:

Adicione variáveis (folga ou excedente) para transformar todas as desigualdades em igualdades:

Como não temos uma base, adicione uma variável artificial:

Penalize a variável artificial na função objetivo:

Escreva o quadro simplex:

Torne a linha Z consistente com o resto do quadro.

Subtraia a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$M$$$ da linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - M R_{2}$$$.

A variável de entrada é $$$y$$$, porque tem o coeficiente mais negativo $$$- 5 M - 2$$$ na linha Z.

A variável que sai é $$$S_{3}$$$, porque tem a menor proporção.

Adicione a linha $$$4$$$ multiplicada por $$$5 M + 2$$$ à linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + \left(5 M + 2\right) R_{4}$$$.

Subtraia a linha $$$4$$$ multiplicada por $$$5$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 5 R_{4}$$$.

Subtraia a linha $$$4$$$ da linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - R_{4}$$$.

A variável de entrada é $$$x$$$, porque tem o coeficiente mais negativo $$$- 13 M - 11$$$ na linha Z.

A variável que sai é $$$Y_{1}$$$, porque tem a menor proporção.

Divida a linha $$$1$$$ por $$$13$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{13}$$$.

Adicione a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$13 M + 11$$$ à linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + \left(13 M + 11\right) R_{2}$$$.

Subtraia a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$5$$$ da linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$$$.

Adicione a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$2$$$ à linha $$$4$$$: $$$R_{4} = R_{4} + 2 R_{2}$$$.

A variável de entrada é $$$S_{3}$$$, porque tem o coeficiente mais negativo $$$- \frac{29}{13}$$$ na linha Z.

A variável que sai é $$$S_{2}$$$, porque tem a menor proporção.

Multiplique a linha $$$2$$$ por $$$\frac{13}{12}$$$: $$$R_{2} = \frac{13 R_{2}}{12}$$$.

Adicione a linha $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{29}{13}$$$ à linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + \frac{29 R_{3}}{13}$$$.

Adicione a linha $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{5}{13}$$$ à linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} + \frac{5 R_{3}}{13}$$$.

Subtraia a linha $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{13}$$$ da linha $$$4$$$: $$$R_{4} = R_{4} - \frac{3 R_{3}}{13}$$$.

Nenhum dos coeficientes da linha Z é negativo.

O ótimo é alcançado.

A seguinte solução é obtida: $$$\left(x, y, S_{1}, S_{2}, S_{3}, Y_{1}\right) = \left(5, 1, 0, 0, 10, 0\right)$$$.

$$$Z = 37$$$A é alcançado em $$$\left(x, y\right) = \left(5, 1\right)$$$A.