Jacobiano e o seu determinante de $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$
Sua entrada
Calcule a matriz jacobiana de $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$.
Solução
A matriz jacobiana é definida da seguinte forma: $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\right].$$$
No nosso caso, $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial x} \left(x\right) & \frac{\partial x}{\partial y}\\\frac{\partial y}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \left(y\right)\\\frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right) & \frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right)\end{array}\right].$$$
Encontre as derivadas (para os passos, veja calculadora de derivadas): $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$
Como a matriz não é quadrada, o determinante jacobiano não existe.
Resposta
A matriz Jacobiana é $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$A.
O determinante jacobiano não existe.