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Raízes racionais possíveis e existentes de $$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$
Sua entrada
Encontre as raízes racionais de $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$.
Solução
Como todos os coeficientes são inteiros, podemos aplicar o teorema das raízes racionais.
O coeficiente final (o coeficiente do termo constante) é $$$-49$$$.
Encontre seus factors (com os sinais de mais e de menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Estes são os valores possíveis de $$$p$$$.
O coeficiente líder (o coeficiente do termo de maior grau) é $$$1$$$.
Encontre os seus fatores (com o sinal de mais e o sinal de menos): $$$\pm 1$$$.
Estes são os valores possíveis de $$$q$$$.
Encontre todos os valores possíveis de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$.
Simplifique e remova os elementos repetidos (se houver).
Estas são as possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.
Em seguida, verifique as possíveis raízes: se $$$a$$$ for uma raiz do polinômio $$$P{\left(x \right)}$$$, o resto da divisão de $$$P{\left(x \right)}$$$ por $$$x - a$$$ deve ser igual a $$$0$$$ (de acordo com o teorema do resto, isso significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Verifique $$$1$$$: divida $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ por $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -96$$$; portanto, o resto é $$$-96$$$.
Verifique $$$-1$$$: divida $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ por $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$; portanto, o resto é $$$-96$$$.
Verifique $$$7$$$: divida $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ por $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 0$$$; portanto, o resto é $$$0$$$.
Portanto, $$$7$$$ é uma raiz.
Verifique $$$-7$$$: divida $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ por $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$; portanto, o resto é $$$0$$$.
Portanto, $$$-7$$$ é uma raiz.
Verifique $$$49$$$: divida $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ por $$$x - 49$$$.
$$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$; portanto, o resto é $$$5649504$$$.
Verifique $$$-49$$$: divida $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ por $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$.
$$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$; portanto, o resto é $$$5649504$$$.
Resposta
Possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A.
Raízes racionais encontradas: $$$7$$$, $$$-7$$$A.