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Raízes racionais possíveis e reais de $$$f{\left(x \right)} = x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$
Sua entrada
Encontre os zeros racionais de $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20 = 0$$$.
Solução
Como todos os coeficientes são inteiros, podemos aplicar o teorema dos zeros racionais.
O coeficiente final (o coeficiente do termo constante) é $$$-20$$$.
Encontre seus fatores (com o sinal de mais e o sinal de menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 20$$$.
Estes são os valores possíveis para $$$p$$$.
O coeficiente principal (o coeficiente do termo com o grau mais alto) é $$$1$$$.
Encontre seus fatores (com o sinal de mais e o sinal de menos): $$$\pm 1$$$.
Estes são os valores possíveis para $$$q$$$.
Encontre todos os valores possíveis de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{20}{1}$$$.
Simplifique e remova as duplicatas (se houver).
Estas são as possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 20$$$.
Em seguida, verifique as possíveis raízes: se $$$a$$$ é uma raiz do polinômio $$$P{\left(x \right)}$$$, o resto da divisão de $$$P{\left(x \right)}$$$ por $$$x - a$$$ deve ser igual $$$0$$$ (de acordo com o teorema do resto, isso significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ ).
Verifique $$$1$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -36$$$ ; assim, o resto é $$$-36$$$.
Verifique $$$-1$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; assim, o resto é $$$0$$$.
Portanto, $$$-1$$$ é uma raiz.
Verifique $$$2$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -42$$$ ; assim, o resto é $$$-42$$$.
Verifique $$$-2$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 18$$$ ; assim, o resto é $$$18$$$.
Verifique $$$4$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 0$$$ ; assim, o resto é $$$0$$$.
Portanto, $$$4$$$ é uma raiz.
Verifique $$$-4$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = 24$$$ ; assim, o resto é $$$24$$$.
Verifique $$$5$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 60$$$ ; assim, o resto é $$$60$$$.
Verifique $$$-5$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$ ; assim, o resto é $$$0$$$.
Portanto, $$$-5$$$ é uma raiz.
Verifique $$$10$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 990$$$ ; assim, o resto é $$$990$$$.
Verifique $$$-10$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -630$$$ ; assim, o resto é $$$-630$$$.
Verifique $$$20$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - 20$$$.
$$$P{\left(20 \right)} = 8400$$$ ; assim, o resto é $$$8400$$$.
Verifique $$$-20$$$: divida $$$x^{3} + 2 x^{2} - 19 x - 20$$$ por $$$x - \left(-20\right) = x + 20$$$.
$$$P{\left(-20 \right)} = -6840$$$ ; assim, o resto é $$$-6840$$$.
Responder
Possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 20$$$A.
Raízes racionais reais: $$$-1$$$, $$$4$$$, $$$-5$$$A.