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Raízes racionais possíveis e existentes de $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$

A calculadora encontrará todas as possíveis raízes racionais e as realmente existentes do polinômio $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$, com as etapas mostradas.

Se a calculadora não conseguiu calcular algo ou você identificou um erro, ou se tem uma sugestão/feedback, por favor entre em contato conosco.

Sua entrada

Encontre as raízes racionais de $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.

Solução

Como todos os coeficientes são inteiros, podemos aplicar o teorema das raízes racionais.

O coeficiente final (o coeficiente do termo constante) é $$$9$$$.

Encontre seus factors (com os sinais de mais e de menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Estes são os valores possíveis de $$$p$$$.

O coeficiente líder (o coeficiente do termo de maior grau) é $$$4$$$.

Encontre os seus fatores (com o sinal de mais e o sinal de menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Estes são os valores possíveis de $$$q$$$.

Encontre todos os valores possíveis de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Simplifique e remova os elementos repetidos (se houver).

Estas são as possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Em seguida, verifique as possíveis raízes: se $$$a$$$ for uma raiz do polinômio $$$P{\left(x \right)}$$$, o resto da divisão de $$$P{\left(x \right)}$$$ por $$$x - a$$$ deve ser igual a $$$0$$$ (de acordo com o teorema do resto, isso significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

  • Verifique $$$1$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - 1$$$.

    $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; portanto, o resto é $$$-24$$$.

  • Verifique $$$-1$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

    $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; portanto, o resto é $$$-24$$$.

  • Verifique $$$\frac{1}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; portanto, o resto é $$$0$$$.

    Portanto, $$$\frac{1}{2}$$$ é uma raiz.

  • Verifique $$$- \frac{1}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; portanto, o resto é $$$0$$$.

    Portanto, $$$- \frac{1}{2}$$$ é uma raiz.

  • Verifique $$$\frac{1}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \frac{1}{4}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; portanto, o resto é $$$\frac{429}{64}$$$.

  • Verifique $$$- \frac{1}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; portanto, o resto é $$$\frac{429}{64}$$$.

  • Verifique $$$3$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - 3$$$.

    $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; portanto, o resto é $$$0$$$.

    Portanto, $$$3$$$ é uma raiz.

  • Verifique $$$-3$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

    $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; portanto, o resto é $$$0$$$.

    Portanto, $$$-3$$$ é uma raiz.

  • Verifique $$$\frac{3}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \frac{3}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; portanto, o resto é $$$-54$$$.

  • Verifique $$$- \frac{3}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; portanto, o resto é $$$-54$$$.

  • Verifique $$$\frac{3}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \frac{3}{4}$$$.

    $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; portanto, o resto é $$$- \frac{675}{64}$$$.

  • Verifique $$$- \frac{3}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; portanto, o resto é $$$- \frac{675}{64}$$$.

  • Verifique $$$9$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - 9$$$.

    $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; portanto, o resto é $$$23256$$$.

  • Verifique $$$-9$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

    $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; portanto, o resto é $$$23256$$$.

  • Verifique $$$\frac{9}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \frac{9}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; portanto, o resto é $$$900$$$.

  • Verifique $$$- \frac{9}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; portanto, o resto é $$$900$$$.

  • Verifique $$$\frac{9}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \frac{9}{4}$$$.

    $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; portanto, o resto é $$$- \frac{4851}{64}$$$.

  • Verifique $$$- \frac{9}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ por $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; portanto, o resto é $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Resposta

Possíveis raízes racionais: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Raízes racionais encontradas: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.


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