Divida $$$x^{3} - 1$$$ por $$$x - 2$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-2&x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x^{2} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(x^{3}-1\right) - \left(x^{3}- 2 x^{2}\right) = 2 x^{2}-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{GoldenRod}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{GoldenRod}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{GoldenRod}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{GoldenRod}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{2 x^{2}}{x} = 2 x$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$2 x \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(2 x^{2}-1\right) - \left(2 x^{2}- 4 x\right) = 4 x-1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Brown}+2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Brown}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Brown}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Brown}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&4 x&-1&\end{array}$$

Passo 3

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{4 x}{x} = 4$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$4 \left(x-2\right) = 4 x-8$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(4 x-1\right) - \left(4 x-8\right) = 7$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+2 x&{\color{Fuchsia}+4}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&\\\hline\\&&2 x^{2}&+0 x&-1&\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}4 x}&-1&\frac{{\color{Fuchsia}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Fuchsia}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Fuchsia}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{GoldenRod}x^{2}}&{\color{Brown}+2 x}&{\color{Fuchsia}+4}&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-2&{\color{GoldenRod}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{GoldenRod}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 2 x^{2}&&&{\color{GoldenRod}x^{2}} \left(x-2\right) = x^{3}- 2 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Brown}2 x^{2}}&+0 x&-1&\frac{{\color{Brown}2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}2 x}\\&&-\phantom{2 x^{2}}&&&\\&&2 x^{2}&- 4 x&&{\color{Brown}2 x} \left(x-2\right) = 2 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}4 x}&-1&\frac{{\color{Fuchsia}4 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Fuchsia}4}\\&&&-\phantom{4 x}&&\\&&&4 x&-8&{\color{Fuchsia}4} \left(x-2\right) = 4 x-8\\\hline\\&&&&7&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{x^{3} - 1}{x - 2} = \left(x^{2} + 2 x + 4\right) + \frac{7}{x - 2}$$$.