Divida $$$x^{4}$$$ por $$$x - 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{x^{4}}{x} = x^{3}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x^{3} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{3}\right) = x^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{3}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Blue}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{Blue}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&{\color{DeepPink}+x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&{\color{DeepPink}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DeepPink}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Passo 3

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&{\color{BlueViolet}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{BlueViolet}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&x&+0&\end{array}$$

Passo 4

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{3}&+x^{2}&+x&{\color{Brown}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&\\\hline\\&&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&&{\color{Brown}x}&+0&\frac{{\color{Brown}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{Brown}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}x^{3}}&{\color{DeepPink}+x^{2}}&{\color{BlueViolet}+x}&{\color{Brown}+1}&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{Blue}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{4}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x^{3}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&- x^{3}&&&&{\color{Blue}x^{3}} \left(x-1\right) = x^{4}- x^{3}\\\hline\\&&{\color{DeepPink}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x^{2}}\\&&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DeepPink}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{BlueViolet}x}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&- x&&{\color{BlueViolet}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&&{\color{Brown}x}&+0&\frac{{\color{Brown}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Brown}1}\\&&&&-\phantom{x}&&\\&&&&x&-1&{\color{Brown}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{x^{4}}{x - 1} = \left(x^{3} + x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.