Divida $$$x^{3} + 7 x^{2} + 1$$$ por $$$x - 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+7 x^{2}+0 x+1\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(x^{3}+7 x^{2}+1\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = 8 x^{2}+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkBlue}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkBlue}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkBlue}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkBlue}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{8 x^{2}}{x} = 8 x$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$8 x \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(8 x^{2}+1\right) - \left(8 x^{2}- 8 x\right) = 8 x+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkMagenta}+8 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkMagenta}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{DarkMagenta}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&8 x&+1&\end{array}$$

Passo 3

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{8 x}{x} = 8$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$8 \left(x-1\right) = 8 x-8$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(8 x+1\right) - \left(8 x-8\right) = 9$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+8 x&{\color{OrangeRed}+8}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}8 x}&+1&\frac{{\color{OrangeRed}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{OrangeRed}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkBlue}x^{2}}&{\color{DarkMagenta}+8 x}&{\color{OrangeRed}+8}&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkBlue}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkBlue}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkBlue}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkMagenta}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{DarkMagenta}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}8 x}&+1&\frac{{\color{OrangeRed}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{OrangeRed}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{OrangeRed}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1} = \left(x^{2} + 8 x + 8\right) + \frac{9}{x - 1}$$$.