Divida $$$x^{3}$$$ por $$$x - 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DeepPink}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DeepPink}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Peru}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Peru}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{Peru}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&x&+0&\end{array}$$

Passo 3

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+x&{\color{SaddleBrown}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}x}&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{2}}&{\color{Peru}+x}&{\color{SaddleBrown}+1}&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DeepPink}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DeepPink}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DeepPink}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{Peru}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{Peru}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}x}&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \left(x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.