Divida $$$x^{4}$$$ por $$$x^{2} - 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{DeepPink}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DeepPink}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{Crimson}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Crimson}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Crimson}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DeepPink}x^{2}}&{\color{Crimson}+1}&&&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{DeepPink}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DeepPink}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Crimson}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Crimson}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Crimson}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.