Divida $$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ por $$$x^{2} + 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Chocolate}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chocolate}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Chocolate}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{OrangeRed}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{OrangeRed}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{OrangeRed}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{OrangeRed}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chocolate}x}&{\color{OrangeRed}-2}&&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{Chocolate}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chocolate}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chocolate}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{Chocolate}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{OrangeRed}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{OrangeRed}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{OrangeRed}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$.