Divida $$$y^{3}$$$ por $$$1 - y$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Chartreuse}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Chartreuse}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Chartreuse}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Chartreuse}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{Peru}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Peru}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Peru}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Peru}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Peru}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Passo 3

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{Green}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{Green}y}&+0&\frac{{\color{Green}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Green}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}- y^{2}}&{\color{Peru}- y}&{\color{Green}-1}&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Chartreuse}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Chartreuse}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Chartreuse}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Chartreuse}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{Peru}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Peru}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Peru}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Peru}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{Green}y}&+0&\frac{{\color{Green}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Green}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.