Divida $$$x^{2}$$$ por $$$1 - x$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- x+1&x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{x^{2}}{- x} = - x$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- x \left(- x+1\right) = x^{2}- x$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Fuchsia}- x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&{\color{Fuchsia}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{2}}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Fuchsia}- x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&{\color{Fuchsia}- x} \left(- x+1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&x&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{x}{- x} = -1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- \left(- x+1\right) = x-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrr:c}&- x&{\color{Brown}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&{\color{Brown}x}&+0&\frac{{\color{Brown}x}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Brown}-1}\\&&-\phantom{x}&&\\&&x&-1&{\color{Brown}-1} \left(- x+1\right) = x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Fuchsia}- x}&{\color{Brown}-1}&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&{\color{Fuchsia}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{2}}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Fuchsia}- x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&{\color{Fuchsia}- x} \left(- x+1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&{\color{Brown}x}&+0&\frac{{\color{Brown}x}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Brown}-1}\\&&-\phantom{x}&&\\&&x&-1&{\color{Brown}-1} \left(- x+1\right) = x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{x^{2}}{1 - x} = \left(- x - 1\right) + \frac{1}{1 - x}$$$.