Divida $$$v^{4}$$$ por $$$v^{2} + 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Blue}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Blue}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Blue}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Blue}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{DarkCyan}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DarkCyan}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{DarkCyan}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Blue}v^{2}}&{\color{DarkCyan}-1}&&&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Blue}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Blue}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Blue}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Blue}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DarkCyan}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{DarkCyan}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$.