Divida $$$u^{3}$$$ por $$$u - 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Fuchsia}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Fuchsia}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Fuchsia}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{DarkMagenta}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkMagenta}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{DarkMagenta}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Passo 3

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{Brown}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}u}&+0&\frac{{\color{Brown}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Brown}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Brown}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}u^{2}}&{\color{DarkMagenta}+u}&{\color{Brown}+1}&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Fuchsia}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Fuchsia}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Fuchsia}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkMagenta}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{DarkMagenta}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{Brown}u}&+0&\frac{{\color{Brown}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Brown}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Brown}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.