Divida $$$u^{6}$$$ por $$$u^{2} + 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{u^{6}}{u^{2}} = u^{4}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$u^{4} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(u^{6}\right) - \left(u^{6}+u^{4}\right) = - u^{4}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkMagenta}u^{4}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkMagenta}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{DarkMagenta}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{- u^{4}}{u^{2}} = - u^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- u^{2} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(- u^{4}\right) - \left(- u^{4}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&{\color{Brown}- u^{2}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Brown}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 3

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{u^{2}}{u^{2}} = 1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$1 \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}+1\right) = -1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&u^{4}&- u^{2}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&\\\hline\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{DarkMagenta}u^{4}}&{\color{Brown}- u^{2}}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkMagenta}u^{6}}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{6}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}u^{4}}\\&-\phantom{u^{6}}&&&&&&&\\&u^{6}&+0 u^{5}&+u^{4}&&&&&{\color{DarkMagenta}u^{4}} \left(u^{2}+1\right) = u^{6}+u^{4}\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}- u^{2}}\\&&&-\phantom{- u^{4}}&&&&&\\&&&- u^{4}&+0 u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Brown}- u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{4}- u^{2}\\\hline\\&&&&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&&&&u^{2}&+0 u&+1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u^{2}+1\right) = u^{2}+1\\\hline\\&&&&&&&-1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{u^{6}}{u^{2} + 1} = \left(u^{4} - u^{2} + 1\right) + \frac{-1}{u^{2} + 1}$$$.