Divida $$$u^{5}$$$ por $$$u^{2} + 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Purple}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Purple}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Purple}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Purple}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{OrangeRed}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{OrangeRed}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Purple}u^{3}}&{\color{OrangeRed}- u}&&&&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Purple}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Purple}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Purple}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{OrangeRed}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.