Divida $$$u^{4}$$$ por $$$u^{2} + 1$$$

Escreva o problema no formato especial (os termos ausentes são escritos com coeficientes nulos):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Divida o termo principal do dividendo pelo termo principal do divisor: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Subtraia o dividendo do resultado obtido: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkMagenta}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{DarkMagenta}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Divida o termo de maior grau do resto obtido pelo termo de maior grau do divisor: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Escreva o resultado calculado na parte superior da tabela.

Multiplique-o pelo divisor: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Subtraia o resto do resultado obtido: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{Brown}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Brown}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Como o grau do resto é menor que o grau do divisor, terminamos.

A tabela resultante é mostrada novamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&{\color{Brown}-1}&&&&\text{Dicas}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkMagenta}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkMagenta}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{DarkMagenta}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Brown}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Portanto, $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.