eMathHelp Solucionador de Matemática – Calculadora Passo a Passo Gratuita

Calcule $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1\\1 & 3\end{array}\right]^{-1}$$$ usando a eliminação de Gauss-Jordan.

Para encontrar a matriz inversa, forme a matriz aumentada com a matriz identidade e efetue operações elementares nas linhas de modo a obter a matriz identidade à esquerda. Então, à direita estará a matriz inversa.

Então, aumente a matriz com a matriz identidade:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}2 & 1 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Divida a linha $$$1$$$ por $$$2$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$$$

Multiplique a linha $$$2$$$ por $$$\frac{2}{5}$$$: $$$R_{2} = \frac{2 R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$\frac{1}{2}$$$ da linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\0 & 1 & - \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right]$$$

Terminamos. À esquerda está a matriz identidade. À direita está a matriz inversa.

A matriz inversa é $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & - \frac{1}{5}\\- \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.6 & -0.2\\-0.2 & 0.4\end{array}\right].$$$A