Rekenmachine voor matrixdiagonalisatie

Diagonaliseer $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Bepaal eerst de eigenwaarden en eigenvectoren (voor de stappen, zie rekenmachine voor eigenwaarden en eigenvectoren).

Eigenwaarde: $$$6$$$, eigenvector: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Eigenwaarde: $$$3$$$, eigenvector: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Eigenwaarde: $$$-2$$$, eigenvector: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Stel de matrix $$$P$$$ op, waarvan kolom $$$i$$$ eigenvector nr. $$$i$$$ is: $$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$.

Vorm de diagonaalmatrix $$$D$$$ waarbij het element in rij $$$i$$$, kolom $$$i$$$ gelijk is aan eigenwaarde nr. $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$.

De matrices $$$P$$$ en $$$D$$$ zijn zodanig dat voor de oorspronkelijke matrix $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3\\1 & 5 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$ geldt.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ (voor de stappen, zie inverse matrix-calculator.)

$$$P = \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{ccc}6 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right]$$$A