Kritieke punten, extrema en zadelpunten van $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$

Vind en classificeer de kritieke punten van $$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$.

De eerste stap is het bepalen van alle partiële afgeleiden van de eerste orde:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Los vervolgens het stelsel $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ of $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$ op.

Het stelsel heeft de volgende reële oplossing: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Laten we nu proberen het te classificeren.

Bepaal alle partiële afgeleiden van de tweede orde:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Definieer de uitdrukking $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}.$$$

Aangezien $$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ kleiner is dan $$$0$$$, kan worden gesteld dat $$$\left(0, 0\right)$$$ een zadelpunt is.

Relatieve maxima

Geen relatieve maxima.

Lokale minima

Geen relatieve minima.

Zadelpunten

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A