|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tweede afgeleide van $$$\ln\left(x\right)$$$
Gerelateerde rekenmachines: Afgeleide rekenmachine, Rekenmachine voor logaritmisch differentiëren
Uw invoer
Bepaal $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$.
Oplossing
Bepaal de eerste afgeleide $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$
De afgeleide van de natuurlijke logaritme is $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Vervolgens, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Pas de machtsregel $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ toe met $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Dus, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Daarom geldt $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Antwoord
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A