$$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$의 가능한 유리근과 실제 유리근
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$$$x^{6} - 64 = 0$$$의 유리근을 구하시오.
풀이
모든 계수가 정수이므로 유리근 정리를 적용할 수 있습니다.
후행 계수(상수항의 계수)는 $$$-64$$$입니다.
해당 factors (플러스 부호와 마이너스 부호 포함)을 구하시오: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
가능한 $$$p$$$의 값은 다음과 같습니다.
최고차항의 계수(차수가 가장 높은 항의 계수)는 $$$1$$$입니다.
인수들을 구하시오(플러스 부호와 마이너스 부호 포함): $$$\pm 1$$$.
다음은 $$$q$$$가 가질 수 있는 값들입니다.
$$$\frac{p}{q}$$$의 가능한 모든 값을 구하시오: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
단순화하고 중복이 있으면 제거하세요.
가능한 유리근은 다음과 같습니다: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
다음으로 가능한 근을 확인하세요: $$$a$$$가 다항식 $$$P{\left(x \right)}$$$의 근이라면, $$$P{\left(x \right)}$$$를 $$$x - a$$$로 나눈 나머지는 $$$0$$$와 같아야 합니다(remainder theorem에 따르면, 이는 $$$P{\left(a \right)} = 0$$$임을 의미합니다).
$$$1$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - 1$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$; 따라서 나머지는 $$$-63$$$이다.
$$$-1$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$; 따라서 나머지는 $$$-63$$$이다.
$$$2$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - 2$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.
따라서 $$$2$$$은(는) 근이다.
$$$-2$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.
따라서 $$$-2$$$은(는) 근이다.
$$$4$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - 4$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$; 따라서 나머지는 $$$4032$$$이다.
$$$-4$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$; 따라서 나머지는 $$$4032$$$이다.
$$$8$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - 8$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$; 따라서 나머지는 $$$262080$$$이다.
$$$-8$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$; 따라서 나머지는 $$$262080$$$이다.
$$$16$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - 16$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$; 따라서 나머지는 $$$16777152$$$이다.
$$$-16$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$; 따라서 나머지는 $$$16777152$$$이다.
$$$32$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - 32$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$; 따라서 나머지는 $$$1073741760$$$이다.
$$$-32$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$; 따라서 나머지는 $$$1073741760$$$이다.
$$$64$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - 64$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$; 따라서 나머지는 $$$68719476672$$$이다.
$$$-64$$$을(를) 확인하십시오: $$$x^{6} - 64$$$을(를) $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$; 따라서 나머지는 $$$68719476672$$$이다.
정답
가능한 유리근: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
실제 유리근: $$$2$$$, $$$-2$$$A.