$$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$의 가능한 유리근과 실제 유리근

$$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$의 유리근을 구하시오.

모든 계수가 정수이므로 유리근 정리를 적용할 수 있습니다.

후행 계수(상수항의 계수)는 $$$9$$$입니다.

해당 factors (플러스 부호와 마이너스 부호 포함)을 구하시오: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

가능한 $$$p$$$의 값은 다음과 같습니다.

최고차항의 계수(차수가 가장 높은 항의 계수)는 $$$4$$$입니다.

인수들을 구하시오(플러스 부호와 마이너스 부호 포함): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

다음은 $$$q$$$가 가질 수 있는 값들입니다.

$$$\frac{p}{q}$$$의 가능한 모든 값을 구하시오: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

단순화하고 중복이 있으면 제거하세요.

가능한 유리근은 다음과 같습니다: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

다음으로 가능한 근을 확인하세요: $$$a$$$가 다항식 $$$P{\left(x \right)}$$$의 근이라면, $$$P{\left(x \right)}$$$를 $$$x - a$$$로 나눈 나머지는 $$$0$$$와 같아야 합니다(remainder theorem에 따르면, 이는 $$$P{\left(a \right)} = 0$$$임을 의미합니다).

• $$$1$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - 1$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; 따라서 나머지는 $$$-24$$$이다.

• $$$-1$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; 따라서 나머지는 $$$-24$$$이다.

• $$$\frac{1}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \frac{1}{2}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.

  따라서 $$$\frac{1}{2}$$$은(는) 근이다.

• $$$- \frac{1}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.

  따라서 $$$- \frac{1}{2}$$$은(는) 근이다.

• $$$\frac{1}{4}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \frac{1}{4}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; 따라서 나머지는 $$$\frac{429}{64}$$$이다.

• $$$- \frac{1}{4}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; 따라서 나머지는 $$$\frac{429}{64}$$$이다.

• $$$3$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - 3$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.

  따라서 $$$3$$$은(는) 근이다.

• $$$-3$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.

  따라서 $$$-3$$$은(는) 근이다.

• $$$\frac{3}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \frac{3}{2}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; 따라서 나머지는 $$$-54$$$이다.

• $$$- \frac{3}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; 따라서 나머지는 $$$-54$$$이다.

• $$$\frac{3}{4}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \frac{3}{4}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; 따라서 나머지는 $$$- \frac{675}{64}$$$이다.

• $$$- \frac{3}{4}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; 따라서 나머지는 $$$- \frac{675}{64}$$$이다.

• $$$9$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - 9$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; 따라서 나머지는 $$$23256$$$이다.

• $$$-9$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; 따라서 나머지는 $$$23256$$$이다.

• $$$\frac{9}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \frac{9}{2}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; 따라서 나머지는 $$$900$$$이다.

• $$$- \frac{9}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; 따라서 나머지는 $$$900$$$이다.

• $$$\frac{9}{4}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \frac{9}{4}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; 따라서 나머지는 $$$- \frac{4851}{64}$$$이다.

• $$$- \frac{9}{4}$$$을(를) 확인하십시오: $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$로 나누십시오.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; 따라서 나머지는 $$$- \frac{4851}{64}$$$이다.

가능한 유리근: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

실제 유리근: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.