유리근 정리 계산기
다항식의 가능한 모든 유리근을 단계별로 구하기
이 계산기는 유리근 정리를 사용하여 다항식의 가능한 모든 유리근을 찾습니다. 그 후 가능한 근들 중 실제 근이 무엇인지 판별합니다. 이는 정수근 정리(최고차항의 계수가 $$$1$$$ 또는 $$$-1$$$인 경우)의 보다 일반적인 경우입니다. 풀이 단계가 제공됩니다.
사용자 입력
$$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$의 유리근을 구하시오.
풀이
모든 계수가 정수이므로 유리근 정리를 적용할 수 있습니다.
후행 계수(상수항의 계수)는 $$$7$$$입니다.
해당 factors (플러스 부호와 마이너스 부호 포함)을 구하시오: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.
가능한 $$$p$$$의 값은 다음과 같습니다.
최고차항의 계수(차수가 가장 높은 항의 계수)는 $$$2$$$입니다.
인수들을 구하시오(플러스 부호와 마이너스 부호 포함): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
다음은 $$$q$$$가 가질 수 있는 값들입니다.
$$$\frac{p}{q}$$$의 가능한 모든 값을 구하시오: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
단순화하고 중복이 있으면 제거하세요.
가능한 유리근은 다음과 같습니다: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
다음으로 가능한 근을 확인하세요: $$$a$$$가 다항식 $$$P{\left(x \right)}$$$의 근이라면, $$$P{\left(x \right)}$$$를 $$$x - a$$$로 나눈 나머지는 $$$0$$$와 같아야 합니다(remainder theorem에 따르면, 이는 $$$P{\left(a \right)} = 0$$$임을 의미합니다).
$$$1$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - 1$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(1 \right)} = -12$$$; 따라서 나머지는 $$$-12$$$이다.
$$$-1$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.
따라서 $$$-1$$$은(는) 근이다.
$$$\frac{1}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - \frac{1}{2}$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; 따라서 나머지는 $$$0$$$이다.
따라서 $$$\frac{1}{2}$$$은(는) 근이다.
$$$- \frac{1}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$; 따라서 나머지는 $$$\frac{27}{4}$$$이다.
$$$7$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - 7$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$; 따라서 나머지는 $$$4368$$$이다.
$$$-7$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$; 따라서 나머지는 $$$3780$$$이다.
$$$\frac{7}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - \frac{7}{2}$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$; 따라서 나머지는 $$$\frac{567}{4}$$$이다.
$$$- \frac{7}{2}$$$을(를) 확인하십시오: $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$을(를) $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$로 나누십시오.
$$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$; 따라서 나머지는 $$$105$$$이다.
정답
가능한 유리근: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.
실제 유리근: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.