$$$\left\langle \sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, e^{t}\right\rangle$$$の大きさ

ベクトル$$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle \sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, e^{t}\right\rangle$$$の大きさ（長さ）を求めよ。

ベクトルの大きさは、式 $$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left|{u_{i}}\right|^{2}}$$$ で与えられます。

座標の各成分の絶対値の二乗の和は $$$\left|{\sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|^{2} + \left|{\sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|^{2} + \left|{e^{t}}\right|^{2} = 2 e^{2 t} \sin^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + 2 e^{2 t} \cos^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + e^{2 t}$$$ です。

したがって、ベクトルの大きさは $$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = \sqrt{2 e^{2 t} \sin^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + 2 e^{2 t} \cos^{2}{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} + e^{2 t}} = \sqrt{3} e^{t}$$$ です。

大きさは$$$\sqrt{3} e^{t}\approx 1.732050807568877 e^{t}$$$Aです。