LU分解計算機
行列のLU分解を手順を追って求める
この計算機は、（可能であれば）与えられた行列 $$$A$$$ の LU 分解、すなわち $$$A=LU$$$ を満たす下三角行列 $$$L$$$ と上三角行列 $$$U$$$ を、手順を示しながら求めます。
部分ピボット（行の入れ替えが必要な場合）では、$$$PA=LU$$$ を満たす置換行列 $$$P$$$ も求めます。
関連する計算機: QR分解計算機
入力内容
行列 $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\3 & -2 & 0\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$ のLU分解を求めよ。
解答
単位行列$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$から始めます。
$$$2$$$行から$$$1$$$行の$$$\frac{3}{2}$$$倍を引く: $$$R_{2} = R_{2} - \frac{3 R_{1}}{2}$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\1 & 5 & 3\end{array}\right]$$$
行列 $$$L$$$ の $$$2$$$ 行 $$$1$$$ 列に係数 $$$\frac{3}{2}$$$ を書き入れてください:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$
$$$3$$$行から$$$1$$$行の$$$\frac{1}{2}$$$倍を引く: $$$R_{3} = R_{3} - \frac{R_{1}}{2}$$$
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2}\end{array}\right]$$$
行列 $$$L$$$ の $$$3$$$ 行 $$$1$$$ 列に係数 $$$\frac{1}{2}$$$ を書き入れてください:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 1\end{array}\right]$$$
行$$$3$$$に行$$$2$$$の$$$\frac{3}{25}$$$倍を加える: $$$R_{3} = R_{3} + \frac{3 R_{2}}{25}$$$.
$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right]$$$
行列 $$$L$$$ の $$$3$$$ 行 $$$2$$$ 列に係数 $$$- \frac{3}{25}$$$ を書き入れてください:
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right]$$$
得られた行列は行列 $$$U$$$ です。
解答
$$$L = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\\frac{3}{2} & 1 & 0\\\frac{1}{2} & - \frac{3}{25} & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\1.5 & 1 & 0\\0.5 & -0.12 & 1\end{array}\right]$$$A
$$$U = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & - \frac{25}{2} & - \frac{3}{2}\\0 & 0 & \frac{58}{25}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\0 & -12.5 & -1.5\\0 & 0 & 2.32\end{array}\right]$$$A