$$$\left[\begin{array}{c}t\\0\end{array}\right]$$$, $$$\left[\begin{array}{c}- t\\t\end{array}\right]$$$ に対するグラム・シュミットの正規直交化法

グラム・シュミットの正規直交化法を用いて、ベクトル集合 $$$\mathbf{\vec{v_{1}}} = \left[\begin{array}{c}t\\0\end{array}\right]$$$, $$$\mathbf{\vec{v_{2}}} = \left[\begin{array}{c}- t\\t\end{array}\right]$$$ を正規直交化せよ。

グラム・シュミットの正規直交化法に従うと、$$$\mathbf{\vec{u_{k}}} = \mathbf{\vec{v_{k}}} - \sum_{j=1}^{k - 1} \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{j}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{k}}}\right)$$$ となり、ここで $$$\operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{j}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{k}}}\right) = \frac{\mathbf{\vec{u_{j}}}\cdot \mathbf{\vec{v_{k}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{j}}\right\rvert}^{2}} \mathbf{\vec{u_{j}}}$$$ はベクトルの射影である。

正規化ベクトルは $$$\mathbf{\vec{e_{k}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{k}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{k}}\right\rvert}}$$$ です。

ステップ 1

$$$\mathbf{\vec{u_{1}}} = \mathbf{\vec{v_{1}}} = \left[\begin{array}{c}t\\0\end{array}\right]$$$

$$$\mathbf{\vec{e_{1}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{1}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{1}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}\frac{t}{\left|{t}\right|}\\0\end{array}\right]$$$（手順については単位ベクトル計算機を参照）。

ステップ 2

$$$\mathbf{\vec{u_{2}}} = \mathbf{\vec{v_{2}}} - \operatorname{proj}_{\mathbf{\vec{u_{1}}}}\left(\mathbf{\vec{v_{2}}}\right) = \left[\begin{array}{c}0\\t\end{array}\right]$$$ (手順については、ベクトル射影計算機およびベクトル減算計算機を参照してください)。

$$$\mathbf{\vec{e_{2}}} = \frac{\mathbf{\vec{u_{2}}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u_{2}}\right\rvert}} = \left[\begin{array}{c}0\\\frac{t}{\left|{t}\right|}\end{array}\right]$$$（手順については単位ベクトル計算機を参照）。

正規直交ベクトルの集合は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{t}{\left|{t}\right|}\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\\frac{t}{\left|{t}\right|}\end{array}\right]\right\}$$$A です。