$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトル

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

まず、与えられた行列 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ の対角成分から $$$\lambda$$$ を差し引いて新しい行列を作成することから始めます。

得られた行列の行列式は $$$\left(\lambda - 1\right)^{2}$$$ です（手順は 行列式計算機 を参照）。

方程式 $$$\left(\lambda - 1\right)^{2} = 0$$$ を解いてください。

根は $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$ です（手順については equation solver を参照してください）。

これらが固有値です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$$$\lambda = 1$$$

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{3}{2}\end{array}\right]$$$

この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

これは固有ベクトルです。

固有値: $$$1$$$A、重複度: $$$2$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。