$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトル

$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 11\\11 & 25\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

まず、与えられた行列 $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right]$$$ の対角成分から $$$\lambda$$$ を差し引いて新しい行列を作成することから始めます。

得られた行列の行列式は $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4$$$ です（手順は 行列式計算機 を参照）。

方程式 $$$\lambda^{2} - 30 \lambda + 4 = 0$$$ を解いてください。

根は $$$\lambda_{1} = 15 - \sqrt{221}$$$, $$$\lambda_{2} = \sqrt{221} + 15$$$ です（手順については equation solver を参照してください）。

これらが固有値です。

次に、固有ベクトルを求めます。

• $$$\lambda = 15 - \sqrt{221}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-10 + \sqrt{221} & 11\\11 & 10 + \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

• $$$\lambda = \sqrt{221} + 15$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}5 - \lambda & 11\\11 & 25 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \sqrt{221} - 10 & 11\\11 & 10 - \sqrt{221}\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

固有値: $$$15 - \sqrt{221}\approx 0.133931252681494$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-2.260551704301682\\1\end{array}\right]$$$A。

固有値: $$$\sqrt{221} + 15\approx 29.866068747318506$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-10 + \sqrt{221}}{11}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.442369886119864\\1\end{array}\right]$$$A。