$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトル

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

まず、与えられた行列 $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$ の対角成分から $$$\lambda$$$ を差し引いて新しい行列を作成することから始めます。

得られた行列の行列式は $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$ です（手順は 行列式計算機 を参照）。

方程式 $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$ を解いてください。

根は $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$ です（手順については equation solver を参照してください）。

これらが固有値です。

次に、固有ベクトルを求めます。

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

• $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

固有値: $$$1$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A。

固有値: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A。