$$$x$$$, $$$x^{3}$$$ のウロン行列式

$$$\left\{f_{1} = x, f_{2} = x^{3}\right\}$$$ のウロンスキ行列式を計算してください。

ワロンスキアンは次の行列式で与えられます: $$$W{\left(f_{1},f_{2} \right)}\left(x\right) = \left|\begin{array}{cc}f_{1}\left(x\right) & f_{2}\left(x\right)\\f_{1}^{\prime}\left(x\right) & f_{2}^{\prime}\left(x\right)\end{array}\right|$$$

この場合、$$$W{\left(f_{1},f_{2} \right)}\left(x\right) = \left|\begin{array}{cc}x & x^{3}\\\left(x\right)^{\prime } & \left(x^{3}\right)^{\prime }\end{array}\right|$$$ となります。

導関数を求めよ（手順は derivative calculator を参照）：$$$W{\left(f_{1},f_{2} \right)}\left(x\right) = \left|\begin{array}{cc}x & x^{3}\\1 & 3 x^{2}\end{array}\right|$$$。

行列式を求めよ (手順については determinant calculator を参照): $$$\left|\begin{array}{cc}x & x^{3}\\1 & 3 x^{2}\end{array}\right| = 2 x^{3}$$$

ウロンスキ行列式は$$$2 x^{3}$$$Aに等しい。