$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sin{\left(2 t \right)}, \cos{\left(2 t \right)}, t\right\rangle$$$ のねじれ率

$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle \sin{\left(2 t \right)}, \cos{\left(2 t \right)}, t\right\rangle$$$のねじれ率を求めよ。

$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 \cos{\left(2 t \right)}, - 2 \sin{\left(2 t \right)}, 1\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 4 \sin{\left(2 t \right)}, - 4 \cos{\left(2 t \right)}, 0\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

外積を求めよ: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 4 \cos{\left(2 t \right)}, - 4 \sin{\left(2 t \right)}, -8\right\rangle$$$（手順は cross product calculator を参照してください）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$ の大きさを求めよ: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 4 \sqrt{5}$$$（手順は 大きさ計算機 を参照）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 8 \cos{\left(2 t \right)}, 8 \sin{\left(2 t \right)}, 0\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

内積を求めよ: $$$\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = -32$$$ (手順は 内積計算機 を参照).

最後に、捩率は$$$\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = - \frac{2}{5}$$$です。

ねじれ率は$$$\tau\left(t\right) = - \frac{2}{5}$$$Aです。