加速度の接線成分計算機

$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle$$$ に対する加速度の接線方向成分を求めよ。

$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 2 t, 3 t^{2}\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ の大きさを求めよ: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}$$$（手順は 大きさ計算機 を参照）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 2, 6 t\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

内積を求めよ: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = 18 t^{3} + 4 t$$$ (手順は 内積計算機 を参照).

最後に、加速度の接線方向成分は$$$a_T\left(t\right) = \frac{\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}} = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$です。

加速度の接線成分は $$$a_T\left(t\right) = \frac{18 t^{3} + 4 t}{\sqrt{9 t^{4} + 4 t^{2} + 1}}$$$A です。