ラグランジュの未定乗数法：制約 $$$x = 0$$$ の下で $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ の最大値と最小値を求める

制約 $$$x = 0$$$ の下で、$$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ の最大値と最小値を求めよ。

注意！ この計算機はラグランジュ乗数法の適用条件を確認しません。自己責任でご利用ください。結果が正しくない場合があります。

ラグランジアンを立てよ: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = x y + \lambda x$$$.

一階の偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y + \lambda x\right) = \lambda + y$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} \lambda + y = 0 \\ x = 0 \\ x = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立系は次の実数解を持ちます: $$$\left(x, y\right) = \left(0, - \lambda\right)$$$

$$$f{\left(0,- \lambda \right)} = 0$$$

値が1つしか見つからなかったので、それが最大か最小かを確認する必要があります。これを行うには、制約を満たす別の点を選び、その点における関数の値を求めます。新しい点での値が元の点での値より小さければ、元の点は最大です。逆に、新しい点での値が大きければ、元の点は最小です。

最大値と最小値を求めることができません。