ラグランジュの未定乗数法：制約 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ の下で $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ の最大値と最小値を求める

制約 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ の下で、$$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ の最大値と最小値を求めよ。

注意！ この計算機はラグランジュ乗数法の適用条件を確認しません。自己責任でご利用ください。結果が正しくない場合があります。

制約 $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ を $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$ に書き換えよ。

ラグランジアンを立てよ: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

一階の偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立方程式は次の実数解を持ちます：$$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$。

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

値が1つしか見つからなかったので、それが最大か最小かを確認する必要があります。これを行うには、制約を満たす別の点を選び、その点における関数の値を求めます。新しい点での値が元の点での値より小さければ、元の点は最大です。逆に、新しい点での値が大きければ、元の点は最小です。

最大値と最小値を求めることができません。