ラグランジュの未定乗数法：制約 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ の下で $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ の最大値と最小値を求める

制約 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ の下で、$$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ の最大値と最小値を求めよ。

注意！ この計算機はラグランジュ乗数法の適用条件を確認しません。自己責任でご利用ください。結果が正しくない場合があります。

制約 $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ を $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$ に書き換えよ。

ラグランジアンを立てよ: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

一階の偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立方程式は次の実数解を持ちます：$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$。

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

したがって、最小値は$$$9$$$、最大値は$$$\frac{729}{4}$$$です。

最大値

$$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$Aにおける$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A。

最小値

$$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$Aにおける$$$9$$$A。