ラグランジュの未定乗数法：制約 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ の下で $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ の最大値と最小値を求める

制約 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ の下で、$$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ の最大値と最小値を求めよ。

注意！ この計算機はラグランジュ乗数法の適用条件を確認しません。自己責任でご利用ください。結果が正しくない場合があります。

制約 $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ を $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$ に書き換えよ。

ラグランジアンを立てよ: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.

一階の偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立系は次の実数解を持ちます: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$

$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$

点$$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$を取る。

$$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ は $$$64$$$ より大きいので、$$$64$$$ は最小値であると言える。

最大値

最大値は存在しません。

最小値

$$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$Aにおける$$$64$$$A。