$$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$ のヤコビ行列とその行列式
入力内容
$$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$ のヤコビ行列を計算してください。
解答
ヤコビ行列は次のように定義されます: $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right].$$$
この場合、$$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial u} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial u} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right)\end{array}\right]$$$ となります。
導関数を求めよ（手順は derivative calculator を参照）：$$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right]$$$。
ヤコビ行列式はヤコビ行列の行列式である: $$$\left|\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right| = 20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$（手順は行列式計算機を参照）。
解答
ヤコビ行列は$$$\left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right]$$$Aです。
ヤコビ行列式は$$$20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$Aです。