$$$\left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$ の回転
入力内容
$$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$を計算せよ。
解答
定義により、$$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \nabla\times \left\langle y z, x z, x y\right\rangle$$$、同値に $$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\y z & x z & x y\end{array}\right|$$$。ここで $$$\times$$$ は cross product operator である。
したがって、$$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x z\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(y z\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x z\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(y z\right)\right\rangle$$$。
偏導関数を求めよ:
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right) = x$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x z\right) = x$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z\right) = y$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right) = y$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x z\right) = z$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z\right) = z$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。
では、求めた偏導関数を代入してカールを求めます：$$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle 0, 0, 0\right\rangle$$$。
解答
$$$\operatorname{curl} \left\langle y z, x z, x y\right\rangle = \left\langle 0, 0, 0\right\rangle$$$A