$$$\left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$ の回転

$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$を計算せよ。

定義により、$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \nabla\times \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$、同値に $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\e^{x} \cos{\left(y \right)} & x y^{2} & y z^{3}\end{array}\right|$$$。ここで $$$\times$$$ は cross product operator である。

したがって、$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right)\right\rangle$$$。

偏導関数を求めよ:

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) = z^{3}$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right) = 0$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = 0$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right) = 0$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) = y^{2}$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = - e^{x} \sin{\left(y \right)}$$$（手順についてはderivative calculatorを参照してください）。

では、求めた偏導関数を代入してカールを求めます：$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$。

$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$A