$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ の臨界点、極値、および鞍点

$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ の臨界点を求め、分類せよ。

最初のステップは、一階偏導関数をすべて求めることです:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

次に、連立方程式 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ または $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$ を解きます。

この連立系は次の実数解を持ちます: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$

では、分類してみましょう。

二階偏導関数をすべて求めよ:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。

式$$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}$$$を定義せよ。

$$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ が $$$0$$$ より小さいため、$$$\left(0, 0\right)$$$ は鞍点であるといえる。

極大値

局所最大値はありません。

相対極小値

相対極小値はありません。

鞍点

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A