点 $$$x = 3$$$ における $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ の瞬間変化率

$$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ の $$$x = 3$$$ における瞬間変化率を求めよ。

関数$$$f{\left(x \right)}$$$の点$$$x = x_{0}$$$における瞬間変化率は、点$$$x = x_{0}$$$で評価した関数$$$f{\left(x \right)}$$$の導関数の値である。

これは、$$$5 x^{x}$$$ の導関数を求め、それを $$$x = 3$$$ で評価する必要があることを意味します。

それでは、関数 $$$\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right) = 5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$ の導関数を求めてください（手順は微分計算機を参照）。

最後に、$$$x = 3$$$での導関数の値を求めます。

$$$\left(\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = \left(5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = 135 + 135 \ln\left(3\right)$$$

したがって、関数$$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$の$$$x = 3$$$における瞬間変化率は$$$135 + 135 \ln\left(3\right)$$$です。

$$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$A の $$$x = 3$$$A における瞬間変化率は $$$135 + 135 \ln\left(3\right)\approx 283.312658970194808$$$A です。