関数の微分計算機
関数の微分を段階的に求める
与えられた関数 $$$y=f(x)$$$、点 $$$x_0$$$、および引数の増分 $$$\Delta x_0$$$ に対して、計算機は微分 $$$dy$$$ と関数の増分 $$$\Delta y$$$ を、手順を示して求めます。
入力内容
$$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ の微分 $$$dy$$$ と関数の増分 $$$\Delta y$$$ を、$$$x_{0} = 1$$$ および $$$\Delta x_{0} = \frac{1}{4}$$$ のときに求めよ。
解答
2つ目の点を求めよ：$$$x_{0} + \Delta x_{0} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$$。
関数を次の2点で評価してください: $$$f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \frac{125}{64}$$$, $$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = 1$$$.
定義によると: $$$\Delta y = f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} - f{\left(x_{0} \right)} = \frac{125}{64} - 1 = \frac{61}{64}$$$.
導関数を求めよ: $$$f^{\prime }\left(x\right) = 3 x^{2}$$$ (手順は 微分計算機 を参照).
$$$x_{0} = 1$$$ における微分係数を求めよ: $$$f^{\prime }\left(1\right) = 3$$$。
微分は$$$dy = f^{\prime }\left(x_{0}\right) \Delta x_{0} = \left(3\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$$$として定義される。
$$$\Delta x_0 \to 0$$$ につれて、$$$dy$$$ の値は $$$\Delta y$$$ に近づくことに注意してください。
解答
$$$\Delta y = \frac{61}{64} = 0.953125$$$A, $$$dy = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.