$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$-30$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$1$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; したがって、余りは$$$-60$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-1$$$ は根である。
$$$2$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 2$$$ で割る。
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; したがって、余りは$$$-84$$$です。
$$$-2$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ で割る。
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; したがって、余りは$$$24$$$です。
$$$3$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 3$$$ で割る。
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; したがって、余りは$$$-96$$$です。
$$$-3$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ で割る。
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; したがって、余りは$$$36$$$です。
$$$5$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 5$$$ で割る。
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; したがって、余りは$$$-60$$$です。
$$$-5$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ で割る。
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-5$$$ は根である。
$$$6$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 6$$$ で割る。
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$6$$$ は根である。
$$$-6$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$ で割る。
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; したがって、余りは$$$-60$$$です。
$$$10$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 10$$$ で割る。
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; したがって、余りは$$$660$$$です。
$$$-10$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$ で割る。
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; したがって、余りは$$$-720$$$です。
$$$15$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 15$$$ で割る。
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; したがって、余りは$$$2880$$$です。
$$$-15$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$ で割る。
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; したがって、余りは$$$-2940$$$です。
$$$30$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - 30$$$ で割る。
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; したがって、余りは$$$26040$$$です。
$$$-30$$$ を検算：$$$x^{3} - 31 x - 30$$$ を $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$ で割る。
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; したがって、余りは$$$-26100$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.
実際の有理根: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.